淺談?dòng)蓴?shù)思形在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 淮安市楚州中學(xué)
李延飛

摘 要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中的重要思想和方法.由數(shù)思形是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的重要應(yīng)用，從而體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想可以直觀而形象地解決一些較為復(fù)雜的問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)形思想，結(jié)合，綜合

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是研究與解決數(shù)學(xué)問題的重要方法.把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，就是數(shù)形結(jié)合的思想.數(shù)形結(jié)合思想就是要使抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，“由數(shù)思形”，“由形思數(shù)”，相互滲透，相互作用，根據(jù)條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何背景，使數(shù)量關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起.充分利用這種結(jié)合，可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，理解能力，創(chuàng)新能力，并且可以有助于學(xué)生開拓解題思路，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.勾股定理、黃金分割點(diǎn)的證明都是應(yīng)用了這種方法.

由數(shù)思形是借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直覺的啟示.

1.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想討論方程解的個(gè)數(shù)問題

對(duì)于含字母的方程 的問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以把問題看做為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的問題，特別是求方程解的個(gè)數(shù)時(shí)非常有效.

例1 判斷關(guān)于 的方程 的實(shí)根個(gè)數(shù).

X

Y

1-a

1-a

o

解析 構(gòu)造函數(shù) ，轉(zhuǎn)化為：借助兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題求解.如圖， 當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)且過 軸上的點(diǎn) 、 軸上的點(diǎn) ，而 ，所以這兩個(gè)函數(shù)圖像必有兩個(gè)交點(diǎn).這時(shí)方程有兩個(gè)解

當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)且過

圖（1）

軸上的點(diǎn) 、 軸上的點(diǎn) ，而 ，所以兩個(gè)函數(shù)也有兩個(gè)交點(diǎn).這時(shí)方程也有兩個(gè)解.

圖（2）

所以，原方程有兩個(gè)解.

例2 關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不同的

實(shí)根，求 的取值范圍.

解析  構(gòu)造函數(shù) ， ，如圖，       

則可以把問題轉(zhuǎn)化為：借助以上兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)問題求解，不難得到 .

2.數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用

y

x

0

圖（3）

例3 解三角不等式組

解析  利用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線（如圖3）

求解,先求出一個(gè)周期上的解再寫出全部.

解答 

由圖得解集為：

注  三角函數(shù)圖像和三角函數(shù)線，是處理三角函數(shù)值大小問題的兩個(gè)有力武器，用好它會(huì)使解題簡(jiǎn)捷、高效.

3.數(shù)形結(jié)合在概率中的應(yīng)用

利用數(shù)形結(jié)合解決概率問題，可以迅速的找到解題的切入點(diǎn)，提高解題速度.

例4 在區(qū)間 中隨機(jī)地抽取出兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的和小于 的概率.

E

A

O

B

C  D

F

y

x

解析  設(shè)從 中所取出的兩個(gè)數(shù)分別為 ,

則 ,即樣本空間的變化區(qū)域 是邊

長(zhǎng)為 的正方形，如圖中的正方形 ,由題意知

,而滿足此式即所求事件

發(fā)生的區(qū)域 是圖中的陰影部分，

圖（4）

，

故所求概率

例5 兩人相約在 點(diǎn)到 點(diǎn)在某地會(huì)面，先到

G

者等候

另一人 分鐘方可離去，試求這兩人能會(huì)面的概率.

圖（5）

解析 如圖，以 分別表示兩人到達(dá)時(shí)刻，建立直坐標(biāo)系，則 ,兩人能會(huì)面的充要條件是 ，可能的結(jié)果全體是邊長(zhǎng)為 的正方行里的點(diǎn)，記為 ,能會(huì)面的點(diǎn)的區(qū)域如圖中的陰影部分 ，

故所求概率為

4.數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的運(yùn)用

由于平面向量具有數(shù)與形的雙重身份，因此，涉及到向量的長(zhǎng)、所成角、平行、垂直等條件，可以聯(lián)想到一些特殊的圖形（如平行四邊形、矩形、菱形、直角三角形、等邊（或等腰）三角形、圓等）來處理，那么可以使向量問題變得簡(jiǎn)單化、直觀化，達(dá)到快速解題的目的.

A

B

C

圖（6）

例6 已知非零向量 與 滿足 且 , 則 為什么三角形？

解析  ，可知

由向量的數(shù)量積的定義可知，

，得到 +

所以， ,其中 為 內(nèi)角，則

故 為等腰三角形；

又由

綜上所述，可知 為等邊三角形.

5.數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

例7 已知實(shí)數(shù) 滿足 .

求證:(1) ;

(2) .

分析 此題直接入手較為困難,將數(shù)合理轉(zhuǎn)化為形后,數(shù)形結(jié)合根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系考慮各量的幾何意義來求解.

證明  (1) 可看作過半圓 上的點(diǎn) 和定點(diǎn) 的直線的斜率.

圖（8）

圖（7）

由圖（7）可知 ( 分別為直線 的斜率), ,

    圓心到切線 的距離為

, (舍去負(fù)值),

   故 .

(2) 可看作斜率為 ,過半圓 上點(diǎn) 的直線在 軸上的截距.

由圖（8）可知 , 的方程為 .

令 .

因?yàn)閳A心到切線 的距離 ,

所以 ,.

綜上所述  .

注  本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,根據(jù)題目作出圖形,要特別注意定義域,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,合理求解.

6.數(shù)形結(jié)合思想在集合題中的應(yīng)用

集合中的文氏圖能夠清晰、準(zhǔn)確生動(dòng)地說明 等問題.在解題中應(yīng)用文氏圖解決，可以一目了然.

A

B

C

圖（9）

例8 開校運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高三（五）班共有 名同學(xué)參加比賽，有 人參加游泳比賽，有 人參加田徑比賽，有 人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳和田徑比賽的有 人，同時(shí)參加游泳和球類比賽的有 人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，問同時(shí)參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人？

解 設(shè) ， ，

，同時(shí)參加田徑和球類比賽的學(xué)生有 人，

作出符合題意的文氏圖，由題意可知： ， ，

，則 ，得   .

因此，同時(shí)參加田徑和球類比賽的有 人，只參加游泳一項(xiàng)比賽的有 人.

7.數(shù)形結(jié)合思想在解函數(shù)最值的應(yīng)用

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解，既可以使一些函數(shù)最值問題的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)也可以大大地開拓我們的解題思路.

例9 有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于 三處，且 .今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在 的垂直平分線上的 點(diǎn)處，建立平面直角坐標(biāo)系如圖；若希望點(diǎn) 到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn) 應(yīng)位于何處？

分析 本題考察的就 點(diǎn)到三點(diǎn) 的距離 中的較大者，再求這較大距離中的最小值.

解  設(shè) 的坐標(biāo)為

因?yàn)?span lang="EN-US">  ，

所以  當(dāng) ，即 時(shí)，

當(dāng) ，即 時(shí)，

12

x

y

5

O

12

P

圖（10）

所以           

它的圖象如圖(10)所示，

所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 取得最小值，

此時(shí)點(diǎn) .

8.數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

例10 設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 ，動(dòng)點(diǎn) 在直線 上運(yùn)動(dòng)，過 作拋物線 的兩條切線 ，且與拋物線 分別相切于 兩點(diǎn).

求：（1）求 的重心 的軌跡方程.

（2）證明 .

解  由題意可得出圖（11）

O

A

B

P

F

圖（11）

（1）設(shè)切點(diǎn) 坐標(biāo)分別為 ，

所以切線 的方程為：

切線 的方程為：

解得 點(diǎn)的坐標(biāo)為：

所以 的重心 的坐標(biāo)為 ，

所以 ，由點(diǎn) 在直線 上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心 的軌跡方程為：

（2）因?yàn)?span lang="EN-US">

由于 點(diǎn)在拋物線外，則

所以 

同理有

所以 .

 

在數(shù)學(xué)解題中，通過數(shù)與形的結(jié)合，能夠有的方矢地幫助同學(xué)多角度、多層次地思考問題，養(yǎng)成發(fā)散思維的好習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思維意識(shí)，提高學(xué)生的解題能力. 因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作為一種基本的、重要的數(shù)學(xué)思想，作為數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，作為將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的”橋”來學(xué)習(xí)研究和掌握應(yīng)用.要將數(shù)形結(jié)合法運(yùn)用于解題教學(xué)和解題實(shí)踐作為解題方法的數(shù)形結(jié)合，實(shí)際上包括兩方面的內(nèi)容：一方面對(duì)“形”的問題，引入坐標(biāo)系或?qū)ふ移鋽?shù)量關(guān)系用“數(shù)”的分析加以分析；另一方面對(duì)于數(shù)量關(guān)系的問題，分析其幾何意義，找出其中所反映的“形”之間的關(guān)系,借助形的直觀來解決.二者都是數(shù)形結(jié)合，不可偏廢.