教學(xué)趨勢：培養(yǎng)“問題”學(xué)生
江蘇省淮安市楚州中學(xué)
姚善志

這兒的問題學(xué)生是指:學(xué)生能根據(jù)所學(xué)過的知識和技能解決學(xué)科內(nèi)（如課本、教輔書、各種練習(xí)試卷上）的題目，更深層的是指學(xué)生能根據(jù)所掌握的知識自己編制問題、提出問題（也可以是時下解決不了的，待知識完善后再加以解決的問題，如哥德巴赫的猜想），即“問題”學(xué)生就是指不但能解決問題，更能提出問題的學(xué)生。這個觀點是基于時下教育現(xiàn)狀的憂慮。

江蘇省實施新課程改革已經(jīng)5年了，新的課程改革就是圍繞如何實施素質(zhì)教育而展開的，強調(diào)的是以人為本的教學(xué)理念，即關(guān)注學(xué)生個人的發(fā)展、關(guān)注學(xué)生情感的培養(yǎng)、態(tài)度的引領(lǐng)、價值觀的形成，倡導(dǎo)“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)模式，要求教育教學(xué)要為了一切學(xué)生、為了學(xué)生一切、一切為了學(xué)生。強調(diào)教學(xué)過程要積極地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、喚醒學(xué)生的參與意識，以便學(xué)生主動汲取知識，以改變學(xué)生被動地學(xué)習(xí)，這種改革的核心就是讓學(xué)生動起來、參與進(jìn)來，以便學(xué)生學(xué)到更多的東西，更會學(xué)習(xí)（而在情感、態(tài)度等方面的教學(xué)目標(biāo)則很難落實）。其實這只是一種淺層次的學(xué)習(xí)，社會需要的不是會學(xué)習(xí)的人，而是能解決老問題，并能提出新問題的人。因而培養(yǎng)“問題”學(xué)生才是當(dāng)今社會教育的趨勢和歸宿。

首先要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

加強雙基訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力是基礎(chǔ)。為了切實鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識和技術(shù)技能，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力（江蘇高考的三大能力之一，也是首要能力）教師講一定數(shù)量的例題，學(xué)生課外要做一定數(shù)量的習(xí)題是必要的。當(dāng)然不能搞題海戰(zhàn)術(shù)。教師要精講，所選例題要具典型性、基礎(chǔ)性，著重通能通法的講解。所布置的題目要細(xì)選，最好是教師要事先做一遍，去除偏題、怪題、錯題，所布置的題目，既要體現(xiàn)鞏固基礎(chǔ)的作用，又能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想。在教與學(xué)的過程中要時刻歸納基本題型及通解通法。如在學(xué)習(xí)了《線性規(guī)劃》一節(jié)后，師生要共同歸納線性規(guī)劃題型的結(jié)構(gòu)。條件為若干個不等式組成的一個不等式組，它的幾何意義是表示平面直角坐標(biāo)系中的一個平面區(qū)域（涉及的變量只有兩個），目標(biāo)函數(shù)要具備一定的幾何意義：是一次表達(dá)式的可轉(zhuǎn)化為截距（如：求x+2y的最大值，可設(shè)x+2y=t y=– + ，要求x+2y的最大值相當(dāng)于求直線y=– + 的縱截距 的最大值）；是分式的可轉(zhuǎn)化為斜率(如： 可以看成是平面內(nèi)任一點(x，y)與原點(0，0)的兩點之間的斜率)；是平方式的可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離（如：求x2+y2的最小值，可以看成是平面區(qū)域內(nèi)任一點(x，y)與原點(0，0)的兩點之間的距離的平方）。如果我們在教學(xué)過程中對線性規(guī)劃問題的條件和結(jié)論進(jìn)行了深刻地挖掘，并作了結(jié)構(gòu)上的歸納，那么今年2012年江蘇高考卷第14題就不難了。第14題為：已知正數(shù)a、b、c滿足5c－3a≤b≤4c－a，c·lnb≥a+c·lnc則 的取值范圍為_______。觀察條件a>0，b>0，c>0，5c－3a≤b，b≤4c－a，c·lnb≥a+c·lnc，共6個不等式，回顧所學(xué)過的題型，不難發(fā)現(xiàn)它與線性規(guī)劃的題型較為吻合，但未知數(shù)的個數(shù)不同，此時可采取同除以c轉(zhuǎn)化為兩個變量。先對較為復(fù)雜的條件c·lnb≥a+c·lnc進(jìn)行加工得：ln ≥ ，再結(jié)合要求的 = ÷ ，從幾何意義入手，設(shè) =y， =x，且x>0，y>0，這樣總條件轉(zhuǎn)化為： ，畫出可行域，要 的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為 ÷ = y÷x= 斜率來做，最大值為7，最小值為過原點作直線y=ex的切線斜率，設(shè)切點為(x0， )，則k= ，切線方程為y－ =  (x－x0)，∵點(0，0)在切線上，故：－ =  (－x0) x0=1 k=e，故 的取值范圍為[e，7]。

因此，要提高學(xué)生的解題能力，首先必須對題目進(jìn)行歸類，并指明每一種題型的通解通法，教學(xué)鏈條為概念→例題→題型→解法→模仿訓(xùn)練→記憶。會模仿是形成學(xué)生解題能力的物質(zhì)基礎(chǔ)，試想連雙基題型的題目學(xué)生都不會解，還怎樣進(jìn)行提升？巧婦難為無米之炊??！上層建筑是數(shù)學(xué)思想方法，它以基礎(chǔ)知識為載體，是隱藏在基礎(chǔ)的背后，需要我們來挖掘來提煉，它是課本的一條暗線，反映著知識間的橫向聯(lián)系，是動態(tài)的。而基礎(chǔ)知識是明線，反映知識間的縱向關(guān)系，是課本中寫明了的，是靜態(tài)的。高中時代所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在走出校門的一兩年內(nèi)就差不多忘了，但是通過學(xué)習(xí)所得到的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)精神是終生享用的。這正如日本教育家米出國藏所說：“不管學(xué)生以后從事什么工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法將長期在他們的生活和工作中發(fā)揮作用。”

如：學(xué)生在學(xué)習(xí)《等差數(shù)列》一節(jié)時，等差數(shù)列前n項和的求法則是一種數(shù)學(xué)思想方法——倒序相加法；它的實質(zhì)是某兩項的下標(biāo)和與另一組兩項的下標(biāo)和相等，則這兩項的和就與另兩項的和相等。如：在 中， =a1+a2+a3+a4+…+an，例后可寫成： =an+an-1+an-2+…+a1，對應(yīng)兩組的下標(biāo)和都為n+1，即a1+an=a2+an-1=…=an+a1，于是2Sn=n(a1+an)，即 = 。若函數(shù)f(x)= ，則f( )+f( )+f( )+…+ f( )=?顯然逐一代入求解是不科學(xué)的，仔細(xì)觀察表達(dá)結(jié)構(gòu)，有點象等差數(shù)列前n項的結(jié)構(gòu)，嘗試用倒序相加法， 有對應(yīng)自變量的和為1，已為定值，再證：f(x)+f(1－x)也為定值則可。顯然：f(x)+f(1－x)= + = + =1∴2 =6 =3

上面是從題型的角度來訓(xùn)練提高學(xué)生的解題能力的。其實提高學(xué)生解題能力更行之有效的方法是展示思維過程。

德國數(shù)學(xué)家第斯多德曾經(jīng)說過：“一個好的教師應(yīng)教會人去發(fā)現(xiàn)定理”。展示的過程就是重復(fù)發(fā)現(xiàn)的過程，教師講解時要充分暴露自己的思考過程，尤其是展示在思考過程中受阻和碰壁時的情境，然后是如何從失敗中得到正確的思路的。一般教師很難做到這一點，一是因為此題根本未做，只是看參考答案，是拿來主義，自然也就沒有什么好展示了；再者教師害怕在展示自己弱點時會降低在學(xué)生心目中的形象，而只展示成功的思路（有時是經(jīng)過多次失敗后總結(jié)出來的），講得精彩，但今后學(xué)生遇到類似問題仍然不會。因為這個經(jīng)過“千錘百煉”的好方法，不是學(xué)生想的，更不知其是怎么產(chǎn)生的，學(xué)生只是觀眾，所以作為教師要展示原始思維，原汁原味的，就是走的彎路也展示出來。教師走了彎路，學(xué)生才不會重導(dǎo)復(fù)轍。

同時也要展示學(xué)生的思維。給學(xué)生充分展示思維的機會，尊重學(xué)生的思維，即使這種思維解不出問題，也不能一棍子打死，要一分為二，指出好的和不足的，以培養(yǎng)學(xué)生的自信心。在展示過程中教師要指出好在何處，錯在何處，怎樣修正。充分調(diào)動學(xué)生的參與意識，學(xué)生之間能指出優(yōu)劣的，教師決不代勞。對于學(xué)生困惑的地方，教師要給予明確的答復(fù)：對、還是不對，決不模棱兩可。但這要求教師有較高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)。

闡述了提高學(xué)生解題能力的方法之后，我們要引導(dǎo)學(xué)生如何提出問題，提出問題比解決問題的境界更高。

一、在傳授知識中挖掘問題

要想深刻理解和把握新概念，新公式我們必須推敲概念中每一字、公式中每一個字母的意義，在推理中提出問題。

學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義之后，我們反思：為什么曲線的切線可以與曲線有兩個或兩個以上的公共點呢？這是定義決定的，定義的是曲線在某一點處的切線。

再如：學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)y=ax與y= 之后，知道兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，但是會不會有交點呢？顯然若有交點，交點也是在直線y=x上。因此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ax（a>1）與y=x的兩圖象是否有公共點的問題。學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，解法如下：要使y=ax與y=x（a>1）的圖象有公共點，只需函數(shù)f(x)= （a>1）有零點，f′(x)= ax －1，f′≥0 ax≥ x≥ ，故f(x)在（－∞， ）上遞減，在（ ，+∞）上遞增，故f(x)的最小值為f( )，只有最小值小于或等于零時才有交點，故f( )= － ≤0 ≤ ，由 >0得，lg ≥1 ≥e ≤ a≤ ，故a的范圍為1<a≤ 。這樣的挖掘既掌握了新知識，又加強知識點之間的橫向聯(lián)系。

二、在形同質(zhì)異中辨析問題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常遇到一些表達(dá)形式相似，但本質(zhì)相異的問題，學(xué)生很困惑。這類問題需在比較中辨析，再各自轉(zhuǎn)化為自己會解的問題。

題一：函數(shù)y=3x2－(2m－6)x+m+3的值恒為非負(fù)數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。

題二：函數(shù)y=3x2－(2m－6)x+m+3的值域為非負(fù)數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍。

解析：題一中：函數(shù)的最值是非負(fù)數(shù)即 ≥0 －3≤m≤0

題二中：等價于函數(shù)的最小值為零，即 =0 m=－3或m=0.

三、在梳理知識中歸納問題

在復(fù)習(xí)過程中對多種相似，要求的結(jié)構(gòu)也相似的問題可進(jìn)行歸類處理，總結(jié)出通解通法。

如：根的分布問題：關(guān)于x的方程x2－ax+1=0區(qū)間( ，3)上有兩個不等的實根，求實數(shù)a的取值范圍，這樣的題型，可以用通解通法——分離參數(shù)法來解，x2－ax+1=0 a=x+ 。故由數(shù)形結(jié)合得 。若本題用二次函數(shù)的思想來解則繁。有些看似無關(guān)的問題也可歸類解決，如：若關(guān)于x的方程lg(2－x)+lg(x+4)=lg(a－x)恰有一個實根，求實數(shù)a的取值范圍。

解析： ，得a=7 或－4<a≤2

四、在思維展示中挑問題

展示學(xué)生在解題的思維過程，可有效地暴露學(xué)生的思維弱點，讓其他同學(xué)指出不足，并試著提出訂正意見，是提高學(xué)生思維能力的有效方法。

如：函數(shù)f(x)=log2x，x∈[1，9]，求函數(shù)g(x)=[f(x)]2+f(x2)的值域。

一學(xué)生的思維展示如下 ： g(x)=[log2x]2+log2x2， 設(shè)log2x=t，0≤t≤2，則y=t2+2t在[0，2]上單調(diào)遞增，故y∈[0，8]，這位同學(xué)自感方法巧妙，而洋洋自得。經(jīng)過5分鐘的學(xué)生分組討論，有的學(xué)生提出質(zhì)疑：f(x)的定義域為[1，9]，g(x)的定義域為什么？最后把難點定位在g(x)的定義域上，經(jīng)過大家的研討：認(rèn)為g(x)的定義域應(yīng)為[f(x)]2中x的范圍與f(x2)中x的范圍的交集，故g(x)的定義域為[1，3]，因此g(x)∈[0，3]。

只要我們提高了解題能力，并在學(xué)習(xí)和生活工作中善于提出問題，我們就一定是強者。“2012年6月24日中國神州九號與天宮一號的手工對接所需的時間很短。但其背后，我們的航天工作者則有預(yù)見性地提出了五百多個突發(fā)事件的處理方法”就是例證。沒有解決舊問題和提出新問題的能力，我國的航天怎能躋身強國之列。因此培養(yǎng)“問題”學(xué)生，才是強國之本，才是教學(xué)的最終歸宿。