求圓、橢圓、雙曲線、拋物線的切線方程，思路明確，但其計算量，往往令人“算而卻步”，下面就上述四種曲線，來剖析它們切線方程的結(jié)構(gòu)特征，以饗讀者。
對于二次函數(shù)的切線方程我們是會求的，如求曲線y=px2（p≠0）在點(x0，y0)處的切線方程。斜率k= f’(x0)=2px0，由點斜式知：切線方程為y-y0=2px0(x-x0) = px·x0，即把原函數(shù)表達(dá)式中的y換成 把x2換成x·x0 .
而對于圓x2+y2=1在點(x0，y0)處的切線方程求法如下：設(shè)切點為(x0，y0)切線上一動點P(x,y)，由 ⊥ 知： · =0，所以有 整理得： ，即是把原方程中x2換成 ，y2換成 那么橢圓的切線方程在結(jié)構(gòu)上也有這樣的規(guī)律嗎？求橢圓 （a>b>0）在點(x0，y0)處的切線方程?，F(xiàn)在用函數(shù)的函數(shù)來求切線方程，不妨設(shè)切點T(x0，y0)是第一象限的點，則由 得y= ， 得：切線斜率為k= ，切線方程為y－y0= (x－x0)其中： = ，代入切線方程得：y－y0= （x－x0） a2y0y－a2y02=－b2x0x+b2x02 a2y0y+b2x0x=a2y02+b2x02兩邊同時除以a2·b2得： =1.驚人的妙合：橢圓的切線方程也是把x2換成阿x0·x，y2換成y0·y.
對拋物線來說開口向上、開口向下對應(yīng)的是二次函數(shù)，上面已經(jīng)證明，那么開口向左、向右的呢？以開口向右為例：求拋物線y2=2px(p>0)在點(x0,y0)處的切線方程。不妨設(shè)點(x0,y0)在第四象限，則y= 故 ，因而切線斜率為k= ，切線方程為 整理得： 即： 得y0y=px-px0+y02 y0y=p(x+x0)，切線方程的結(jié)構(gòu)也為把平方項y2換成y0y，把一次項x換成 。最后來檢驗這種結(jié)構(gòu)替換是否適用于雙曲線，設(shè)雙曲線 （a>0,b>0），點T(x0,y0)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，求在點T(x0,y0)處的切線方程。由原方程得 （因為在第一象限），求得 切線斜率 ，切線方程為 變形為 b2x0x－a2y0y=b2x02－a2y02兩邊同除以a2·b2得 ，也符合上述替換。
由上面的推導(dǎo)過程我們可以得到這樣的定理：二次曲線（圓、拋物線、橢圓、雙曲線）在點（x0,y0）處的切線方程為：把原方程中的二次項x2換成x0·x，y2換成y0·y；把一次項x換成 ，y換成 ，所得關(guān)于x、y的一次方程即為切線方程
現(xiàn)舉三例來說明此定理的正確性及其作用
例一：過點P(－1,3)作圓C：(x－1)2＋(y－2)2=4的切線，切點為A、B，求直線AB的方程
分析：老方法是：因P、C、A、B四點共圓，新圓圓心（ ）即（0， ）半徑r= ，則新圓方程為 ，兩圓方程相減即得直線AB的方程：2x－y＋4=0?，F(xiàn)在我們用上述定理來求直線AB的方程。圓方程化為x2－2x＋y2－4y+1=0，若切點為（x0,y0）則切線方程為：x0x－(x0＋x) ＋yy0－2y－2y0＋1=0整理得：(x－1)x0＋(y－2)y0－x－2y＋1=0，設(shè)點A坐標(biāo)為(x1,y1)且切線過點(－1,3)得：－2x1＋y1－4=0，B點坐標(biāo)(x2,y2)且過點(－1,3)得切線方程為－2x2＋y2－4=0。由這兩個方程的結(jié)構(gòu)再根據(jù)兩點確定一條直線：點(x1,y1)(x2,y2)都在－2x＋y－4=0上，故過點A、B的直線方程為2x－y＋4=0兩種方程結(jié)果一致。
例2：在拋物線y2=4x上求一點P，使點P到點A(－1,14)的距離最短
分析：設(shè)點P(x0,y0)，當(dāng)拋物線在點P處的切線：y0y=2(x0＋x)與直線AP垂直時距離最短，故有 y03＋12y0－112=0 (y0－4)(y02＋4y0＋28)=0有y0=4故切點為（4，4），此時|AP|的最小值為5 。
例3：設(shè)點P為直線l：x=2上任意一點，過點P作橢圓 的切線，切點分別為A、B，求線段AB長的取值范圍。
分析：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(2,y0)，則橢圓在點A處的切線方程為 ，代入點P(2,y0)得：x1+y0y1=1，同理橢圓在點B處的切線方程為 ，代入點P(2,y0)得：x2+y0y2=1，比較兩個切線方程結(jié)構(gòu)知：直線AB的方程為x+y0y=1，聯(lián)立直線AB的方程與橢圓方程得 得
由|AB|2=(x1－x2)2＋(y1－y2)2=y02(y1－y2)2＋(y1－y2)2
=(y02＋1)[(y1＋y2)2－4y1y2]=
=4(y02+1)· =8 =8(1－ )2
由y02+2∈ 知 故AB2∈ ，因而 ≤|AB|<2
同行們，記住上面的定理了嗎？它真是太妙了！
