求集合問(wèn)題的幾個(gè)注意點(diǎn) 淮安市楚州中學(xué)
張步高

[摘  要] 集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，集合內(nèi)容更是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，針對(duì)學(xué)習(xí)集合知識(shí)時(shí)，學(xué)生易忽略之外，本文擬結(jié)合教學(xué)實(shí)踐來(lái)作一點(diǎn)探討。

[關(guān)鍵詞] 集合    元素    互異性    空集

集合是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，在學(xué)習(xí)集合知識(shí)時(shí)，我們不僅要深刻理解集合的概念，掌握運(yùn)算的技巧，還要解決好以下幾個(gè)問(wèn)題。

一、注意分清集合的代表元素

用描述法表示集合的一般形式為{x x 具有公共屬性}，其豎線前面的x稱為集合的代表元素。在解集合問(wèn)題時(shí)，先要弄清該集合的代表元素是什么，否則就會(huì)陷入困境或誤入歧途。

例1、若P={y y=x2+1,x∈R } ,Q={ y y=x2-1,x∈R }  則P∩Q=___________.

本題學(xué)生容易填Φ，原因是沒(méi)能弄清集合中的代表元素，會(huì)誤解成是求二次函數(shù)y=x2+1與y=x2-1的交點(diǎn)，事實(shí)上，P、Q表示的都是二次函數(shù)的值域，由P={y y≥1},Q={ y y≥-1 },知P∩Q=P,故填{ y y≥1,y∈R }.

例2、若A={y y=-2x2+3, x∈R },B={x y= , x∈R } ,則A∩B=__________.

本題學(xué)生會(huì)弄錯(cuò)集合中代表元素，以為集合A與集合B都是求函數(shù)的值域，其實(shí)，前一個(gè)求的是函數(shù)的值域，后一個(gè)求的是函數(shù)的定義域。

由A={y y≤3，y∈R },B={ x x ≥2，x∈R }，得A∩B={ x 2 ≤x≤3, x∈R } .

二、注意集合元素的互異性

集合元素的互異性就是集合中的元素各不相同，在解題中我們常常會(huì)忽略這一點(diǎn)，以致造成解題的錯(cuò)誤。

例3、已知A={a},B={1,a2},A B,求不等式x2-2ax-3>0的解集。

錯(cuò)解：∵ A B

∴a=1或a= a2

∴a=1或a=0

當(dāng)a=1時(shí)， x2-2ax-3>0的解集為{ x x<-1或x>3 }

當(dāng)a=0時(shí)，x2-2ax-3>0的解集為{ x x<- 或x> }.

至此，不少同學(xué)認(rèn)為大功告成，實(shí)際上由A B確定出的a=1或a=0能保證集合B的互異性嗎？將a=1代入時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)與集合的互異性矛盾，應(yīng)舍去，將a=0代入可得B={1,0}，故所求不等式的解集為{ x x<- 或x> }。

在給出集合的運(yùn)算或集合的關(guān)系，求待定字母時(shí)，容易產(chǎn)生與元素互異性相矛盾的增解，需要進(jìn)行解題時(shí)的檢驗(yàn)與反思，以確保解題的準(zhǔn)確無(wú)誤。

三、注意明確空集的特殊性

空集是一個(gè)特殊的集合，它不含任何元素，具有以下一些性質(zhì)：Φ A, Φ  A(A≠Φ) ，我們?cè)谇蠼饧蠁?wèn)題時(shí)常常因忽略這些性質(zhì)而造成求解錯(cuò)誤，因此在解題中應(yīng)引起高度重視。

例4、設(shè)A={x x2-4x+3=0, x∈R }   B={ x 2x2-ax+2=0, x∈R }, 若A∪B=A,求a的值。

解：∵A={ x x2-4x+3=0, x∈R }

    ∴A={1,3}

    ∵A∪B=A

    ∴B A

    將x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4

    此時(shí)B={1},滿足B A

    將x=3代入方程2x2-ax+2=0得a=

    此時(shí)B={ ，3}不滿足B A

至此不少同學(xué)會(huì)認(rèn)為a的值為4，其實(shí)這個(gè)結(jié)果是不對(duì)的，因?yàn)?span lang="EN-US">B可能是Φ，即方程2x2-ax+2=0無(wú)實(shí)根，故由△<0，得-4<a<4, 也有B A符合題意（這是很容易忽略的），所以符合題意的a的值為-4<a≤4.

例5、設(shè)A={x x2-4x+3<0, x∈R },B={ x a<x<2a ,a∈R }若B∩A=B,求a的取值范圍

錯(cuò)解：∵若B∩A=B，

     ∴B A

     又∵A={ x 1<x<3, x∈R }, B={ x a<x<2a ,a∈R }

    ∴

    ∴a的范圍為[1, ].

 本題學(xué)生忽略了當(dāng)a≤0時(shí)B=Φ的情況 ，所以本題a范圍應(yīng)是(-∞,0]∪[1, ].

四、注意樹(shù)立以形助數(shù)的解題意識(shí)

抽象的集合問(wèn)題通過(guò)圖形的直觀來(lái)加以表示，不僅可以準(zhǔn)確地顯示各個(gè)集合間的關(guān)系，有時(shí)各個(gè)集合的元素也隨之確定下來(lái)，便于我們用形象思維實(shí)現(xiàn)解題。

例6、設(shè)∪={(x,y) x∈R,y∈R },A={(x,y) =1},B={(x,y) y=x+1}求CuA∩B

解：A= {(x,y) y=x+1,x≠1}它表示直線y=x+1去掉點(diǎn)(1,2)的全體點(diǎn)的集合。

如圖1所示，易得CuA∩B={(1,2)}.

關(guān)于點(diǎn)集問(wèn)題，常?？梢詫⑵滢D(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系上的圖形來(lái)加以研究，直觀形象，簡(jiǎn)捷明了。

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