二次函數(shù)的深入研究（夏建躍）

【摘要】:第二次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重頭戲,本文從函數(shù)概念出發(fā),對二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖像做了研究,并通過這些研究,說明其可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

【關(guān)鍵詞】:二次函數(shù)；研究

在歷年高考試題中函數(shù)的知識點和函數(shù)思想都占有相當(dāng)重要的地位,而其中的二次函數(shù)猶如一根紅線貫穿其中，在初中教材中,對二次函數(shù)作了詳細(xì)的研究,由于初中學(xué)生理解能力較差,又受其接受能力的限制,對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的,很難從本質(zhì)上加以理解,進入高中以后,對二次函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)(圖象以及單調(diào)性、奇偶性、對稱性、有界性)的理解提出了更高的要求.作為最基本的冪函數(shù),可以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì),可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系,可以編出靈活多變的數(shù)學(xué)問題,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì),特別是能從解答的深入程度中,區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力,使其成為高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。

進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義,進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射,接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念,主要是用映射觀點來闡明函數(shù),這時就可以用學(xué)生對函數(shù)的一些理解,特別是以二次函數(shù)為例更深層次地認(rèn)識函數(shù)。二次函數(shù)是從一個集合(定義域)到集合(值域)上映射,使得集合中的元素與集合中的元素對應(yīng)，記為。這里表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素在值域中的象,從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認(rèn)識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后,可以讓學(xué)生進一步處理如下問題:

類型Ⅰ：已知，求，這里不能把理解為時的函數(shù)值，只能理解為自變量為的函數(shù)值。

類型Ⅱ：設(shè)，求。這個問題理解為，已知在對應(yīng)法則下，元素的象是，求定義域中元素的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則，一般有兩種方法：（1）把所給表達式表示成的多項式，，再用代得；（2）變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都適用，令，則，所以，從而。

二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖象

在高中階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)在區(qū)間及上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性。

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

（1）        （2）       （3）

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系，把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象，通過圖象去研究函數(shù)的單調(diào)性。

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合要么只有最小值，要么只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)，如：，求該函數(shù)的值域。

二次函數(shù)的知識，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

類型Ⅳ：設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個根，滿足。（1）當(dāng)時，證明；（2）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明

解題思路：本題要證明的是，和，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①，說明拋物線與直線在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點；②方程可變?yōu)?/span>，它的兩根為，，可得到，與之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條：①圖象法，②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)，現(xiàn)以思路②為例解決這道題。

（1）先證明，令，因為，是方程的根，，所以。

因為，所以當(dāng)時，得，又，因此，即

至此，證得

根據(jù)韋達定理，有，因為，，又，所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線是開口向上的拋物線，因此，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值在邊界點或處達到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達到，由于，所以當(dāng)時即

（1）因為。

函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得，因為是二次方程的根，根據(jù)違達定理得，。因為，所以，即。

二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識，使我們對它的研究更深入。