教師個(gè)人專題研究（沈連春）

楚州中學(xué)“教師個(gè)人專題研究”的研究方案

【個(gè)人專題研究成果】

感受中學(xué)數(shù)學(xué)中反證法的魅力

楚州中學(xué) 沈連春

【摘要】反證法是在原條件下結(jié)論不成立，然后推理出與原條件相矛盾的結(jié)果，從而證明原假設(shè)不成立，原命題得證。反證法的運(yùn)用可以有助于學(xué)生拓寬知識(shí)層面，讓學(xué)生在反證法的多種教學(xué)策略中感受其應(yīng)用價(jià)值。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分凸顯反證法的優(yōu)勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用反證法有效解題，從而感悟反證法的迷人魅力。

【關(guān)鍵字】高中數(shù)學(xué)   反證教學(xué)   解題方法

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，數(shù)學(xué)題目通常使用正面直接的方法進(jìn)行求解，這就導(dǎo)致了學(xué)生在做題時(shí)耗費(fèi)時(shí)間多，做題難度大。針對(duì)這一現(xiàn)象，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生通過假設(shè)、推導(dǎo)和驗(yàn)證結(jié)論等方法探尋反證法的應(yīng)用過程，讓學(xué)生能夠明晰反證法的應(yīng)用范圍，學(xué)會(huì)適時(shí)切入命題角度，捕捉可行載體，從而在探求矛盾的進(jìn)程中高效解題。

一、循序漸進(jìn)，探尋反證法的應(yīng)用過程

（一）假設(shè)，列出相反命題

假設(shè)是數(shù)學(xué)邏輯推理的必要前提，也是反證法的重要步驟，這一步驟的掌握有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中錘煉邏輯思維能力與解決問題的能力。因此，教師要注重對(duì)“假設(shè)”過程的應(yīng)用，通過猜想與假設(shè)讓學(xué)生明晰命題的條件與方向。

在“常用邏輯用語”這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中，教師可以先讓學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行假設(shè)，掌握命題假設(shè)的相關(guān)詞匯，了解假設(shè)的方法和話術(shù)。否定性命題是邏輯命題中能夠良好鍛煉學(xué)生反證法的一種命題模式，上課時(shí)，教師先在黑板中寫出題目“否定自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，該題目應(yīng)如何進(jìn)行假設(shè)”。這時(shí)學(xué)生可以思考和討論在命題假設(shè)之前應(yīng)先理解該命題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，由已經(jīng)學(xué)過的定理可知，自然數(shù) a、b、c三個(gè)數(shù)的奇偶性有四種情況“全是奇數(shù)”“全是偶數(shù)”“有兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)”“有一個(gè)奇數(shù)、兩個(gè)偶數(shù)”。因此，本題否定命題的假設(shè)就可以為“假設(shè)全是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)”，答案就可以輕而易舉地得出了。

反證法在應(yīng)用教學(xué)中的初步探索體現(xiàn)為“假設(shè)”。教師通過指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思維、想象對(duì)所研究的命題進(jìn)行本質(zhì)的猜測(cè)和規(guī)律的探索，有助于其形成對(duì)命題過程的可能性猜想和結(jié)論的嘗試性理解，是引出解題步驟與思路的重要方法。

（二）推導(dǎo)，得出新的結(jié)論

推導(dǎo)的過程是根據(jù)已知定理，在演算和推理下得出結(jié)論的過程。教師應(yīng)當(dāng)借助推導(dǎo)這一特點(diǎn)，幫助學(xué)生感受推導(dǎo)過程的價(jià)值所在，讓學(xué)生從邏輯推理中得出對(duì)問題新的認(rèn)知與理解，從而明晰反證法對(duì)于數(shù)學(xué)解題能力的影響，并予以重視。

在“常用邏輯用語”這一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師可以引用典型例題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”讓學(xué)生用反證法進(jìn)行證明。在推導(dǎo)本命題之前，教師可以先給學(xué)生講解反證法的概念與推導(dǎo)過程，讓學(xué)生有大概的認(rèn)知，然后鼓勵(lì)學(xué)生自主進(jìn)行推導(dǎo)。首先，學(xué)生通過思考可以先假設(shè)A、B、C中有兩個(gè)角為直角，設(shè)A和B為90°；其次，推出命題中的矛盾“A+B+C=90+90+180”，與三角形內(nèi)角和為180°的定理相矛盾；最后，學(xué)生可以觀察出之前的假設(shè)并不成立，通過判斷得出該命題的正確答案。教師通過指導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)命題的過程，可以提高學(xué)生的做題水平，促進(jìn)高質(zhì)量課堂的長(zhǎng)久發(fā)展。

數(shù)學(xué)問題大多具有一定的抽象性，學(xué)生在理解的時(shí)候常常會(huì)感到艱澀難懂。而推導(dǎo)過程的應(yīng)用，可以有效幫助學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)問題中的抽象概念，教師通過指導(dǎo)學(xué)生深度剖析解題過程，可以使數(shù)學(xué)問題迎刃而解。

（三）結(jié)果，肯定原題正確

反證法的根本目標(biāo)在于肯定題設(shè)而否定結(jié)論。若用正向推導(dǎo)方法求證結(jié)果會(huì)使數(shù)學(xué)命題失去了它本具有的特性，所以，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何在肯定原題正確的情況下驗(yàn)證結(jié)果，給學(xué)生灌輸反證法中“否定之否定”的中心思想。

在“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”這一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師先對(duì)學(xué)生進(jìn)行三角函數(shù)基本概念與性質(zhì)的講解，然后借助與本節(jié)相關(guān)的習(xí)題鞏固理論知識(shí)。教師將題目“α、β都為銳角，且cosα/sinβ+cosβ/sinα=2 求證：α+β=π/2”寫在黑板上，然后指導(dǎo)學(xué)生在“α+β≠π/2”的假設(shè)下，一共分為兩種情況，分別是“α+β<π/2”和“α+β>π/2”，學(xué)生再引用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的基本性質(zhì)和關(guān)系，就可以推算出以上兩種情況的結(jié)果分別為“cosα/sinβ+cosβ/sinα>2”“cosα/sinβ+cosβ/sinα<2”都與已知條件“cosα/sinβ+cosβ/sinα=2 ”相矛盾，故假設(shè)不成立，從而反證原命題成立。

數(shù)學(xué)推導(dǎo)的目的在于得出結(jié)論與感知過程。反證法的應(yīng)用使數(shù)學(xué)問題的求解過程變得更直觀、便捷。另外，反證法作為數(shù)學(xué)常用的解題方法之一，具有否定性和真實(shí)性的特點(diǎn)，極為符合學(xué)生求解不等式、數(shù)列等抽象問題的解題需求。

二、躬身實(shí)踐，探尋反證法的應(yīng)用范圍

（一）否定性，找到切入角度

否定性命題在高中階段的學(xué)習(xí)中屬于重難知識(shí)點(diǎn)，是數(shù)學(xué)考試的常出題型之一。教師通過幫助學(xué)生理解否定性命題的求解方法，從不同角度切入命題的求解技巧，從而達(dá)到解題時(shí)能夠觸類旁通的效果。

在“等比數(shù)列”這一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師可以先對(duì)學(xué)生講解否定性命題的形式，能讓學(xué)生區(qū)分哪種題型屬于否定性命題。接下來，教師就可以通過具有代表意義的否定性命題讓學(xué)生掌握該種題型的解題套路。例如題目“設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，那么求證數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列”，本命題的求證中帶有“不…”的字眼，符合否定性命題的要素，這時(shí)教師就可以先讓學(xué)生進(jìn)行反向假設(shè)，設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果與已知條件相矛盾，就可以反證出本題的答案。數(shù)列的反向求證屬于高頻考點(diǎn)，學(xué)生要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用，保證數(shù)學(xué)課堂的質(zhì)量。

反證法應(yīng)用之廣泛，在于其由矛盾判斷命題的假設(shè)是否成立。因此，教師要整合“否定性”經(jīng)典例題，這樣有助于學(xué)生總結(jié)該類型數(shù)學(xué)問題的潛在規(guī)律，在做題時(shí)能夠下意識(shí)地選擇反證法進(jìn)行問題的求解。

（二）存在性，證明結(jié)論合理

含有存在量詞的命題稱之為存在性命題，屬于邏輯類命題的一種。教師通過指導(dǎo)學(xué)生求解“存在性”命題，可以幫助學(xué)生更好地增加做題量，豐富做題類型，運(yùn)用該類型命題的反證解題方法去證明結(jié)論的合理性。

在“全稱量詞命題與存在量詞命題”這一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以從教材中觀察到“存在”“有的”“有一個(gè)”等數(shù)學(xué)語言表示為存在量詞，通常用符號(hào)“∃x”表示“存在x”。教師可以總結(jié)該類型題目的規(guī)律讓學(xué)生理解存在量詞命題的解題方法，倘若題目中已給出“∀x∈R，x2+x+1>0”，那么，運(yùn)用反證法解題的第一步應(yīng)當(dāng)先將命題進(jìn)行否定，即為“∃x∈R，x2+x+1≤0”。存在量詞命題也可以為文字類的形式存在，即“所有的無理數(shù)都是實(shí)數(shù)”，該命題的否定就可以寫作“有的有理數(shù)不是實(shí)數(shù)”。學(xué)生只有先掌握到命題否定的訣竅，才能夠進(jìn)行后續(xù)的問題推導(dǎo)，進(jìn)而求證出合理的結(jié)論。反證法的應(yīng)用無疑在高中階段的教學(xué)過程中推動(dòng)了高質(zhì)量課堂的進(jìn)程，教師應(yīng)當(dāng)聚焦反證法的教學(xué)策略。

存在性命題具有一定的客觀規(guī)律，該命題的解法已在教學(xué)研究中日趨成熟。因此，教師在幫助學(xué)生掌握存在性命題的含義與規(guī)律時(shí)，也要不斷進(jìn)修提高自身的教學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生提供更加堅(jiān)實(shí)可靠的教學(xué)環(huán)境。

（三）必然性，推翻假設(shè)矛盾

必然性命題的求證普遍帶有“必然”字樣，學(xué)生在求解時(shí)可以先對(duì)原命題進(jìn)行否定假設(shè)，依據(jù)定理和含義，再推翻假設(shè)的矛盾，從而得出命題的結(jié)論。教師通過給學(xué)生講解“必然性”命題的解題思路，有助于學(xué)生對(duì)該類型題目的掌握與深化。

在“點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系”這一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師可以讓學(xué)生小組討論三個(gè)要素的位置關(guān)系，并引用反證法證明“同一平面內(nèi),一條直線和兩條平行線中的一條相交,也必然和另一條相交”。學(xué)生可以先在教材中尋找能夠證明該命題的公理和定義，也可以在草稿紙上按已知條件畫出三條線在同一平面的位置關(guān)系，然后再進(jìn)行小組交流與討論。不難發(fā)現(xiàn)，如果從正面去驗(yàn)證本命題會(huì)感覺無從下手，此時(shí)教師就可以融入反證法的解題思路，讓學(xué)生先將直線A與平行線B、C中的B相交，再假設(shè)直線A與直線C不相交，那么直線A就與直線C相互平行，而已知條件中直線B又與直線C平行，所以直線A應(yīng)當(dāng)與直線B平行，這就與原命題相矛盾，所以假設(shè)不成立，即直線A必然與直線C相交。

反證法適用于“必然性”命題的求解。因此，教師要善于利用反證法的規(guī)律與特點(diǎn)，轉(zhuǎn)換命題的求解方向，從反向角度出發(fā)推翻命題的假設(shè)矛盾，并在此過程中得出不同題型的不同解法。

三、匠心獨(dú)運(yùn)，探尋反證法的應(yīng)用策略

（一）補(bǔ)充條件，找到邏輯依據(jù)

在反證法的學(xué)習(xí)中，不僅需要理解命題中邏輯規(guī)律，還需要找出命題中的邏輯依據(jù)—排中律和矛盾律。因此，補(bǔ)充條件是學(xué)習(xí)反證法的前提條件，教師要指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合命題思路，補(bǔ)充必要條件，快速抓住命題中的邏輯依據(jù)。

在“不等式”這一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生剖析命題中的隱性聯(lián)系，尋找與命題相關(guān)的邏輯依據(jù)，并能夠熟練地將這一技巧進(jìn)行應(yīng)用。在不等式這類的題目中，只有找到符合題目規(guī)律的邏輯依據(jù)，才能進(jìn)行后續(xù)的求解，恰恰這一技巧不容易被捕捉，這時(shí)教師就可以幫助學(xué)生為不等式題目補(bǔ)充條件。如果題目中“和a+b”一定時(shí)，“積ab”一定有最大值；如果“積ab”一定時(shí)，則“和a+b”有最小值；那么此類問題的求解就可以通過反證方法轉(zhuǎn)化為對(duì)“積ab”最大值或?qū)?ldquo;和a+b”最小值的求解。這是不等式題目在邏輯推導(dǎo)時(shí)常用的邏輯條件，學(xué)生將此定理轉(zhuǎn)化為合適的條件代入到不等式的解題過程中，可以提高學(xué)生的解題能力，也有利于教師打造高質(zhì)量課堂，加強(qiáng)課程的研討。

補(bǔ)充條件有助于解題效率的提高，是一種極為有效的解題方法。教師要善于在數(shù)學(xué)題目中應(yīng)用“補(bǔ)充條件”這一技巧，讓學(xué)生能夠熟知該方法的應(yīng)用范圍，并在命題的推導(dǎo)過程中進(jìn)行反證。

（二）合理再現(xiàn)，捕捉可行載體

知識(shí)需要不斷地鞏固與運(yùn)用。雖然反證法在教材內(nèi)容中所占比重不多，但是基于反證法的高效快捷，教師可以捕捉適當(dāng)?shù)臋C(jī)會(huì)和載體，在講解知識(shí)點(diǎn)時(shí)融入反證法的解題思維，這樣不僅能夠提高學(xué)生的反證意識(shí)，還能使教材內(nèi)容多樣化。

在“數(shù)列”這一章節(jié)的學(xué)習(xí)中，只有不斷的鞏固才能深化運(yùn)用反證法解題的習(xí)慣。教師在本章節(jié)的學(xué)習(xí)中可以將等比數(shù)列和等差數(shù)列的相關(guān)題目進(jìn)行分類歸納，這些題目要有代表性，能夠讓學(xué)生清楚地發(fā)現(xiàn)這些題目含有的固定解題模板。在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，教師可以讓學(xué)生用反證法求證“1、√2，3不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)”；在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，教師可以寫出題目“設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為{Sn}，且滿足an=2-Sn（N屬于自然數(shù)）”讓學(xué)生用反證法證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列。不僅如此，反正法的應(yīng)用也涉及到不等式、函數(shù)、空間幾何等多方面數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。教師在講解反證法時(shí)，可以有效借助教材中的各種載體，豐富反證法的應(yīng)用層次，提高學(xué)生對(duì)反證法的應(yīng)用意識(shí)。

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)從多角度、全方面看待反證法在教學(xué)生活中的應(yīng)用，重視反證法帶來的便利與好處，深刻感受該方法的基本思維與中心思想。在題目中合理再現(xiàn)反證法的解題思路，有助于學(xué)生形成辯證看待問題的思想。

（三）適當(dāng)總結(jié)，學(xué)會(huì)探求矛盾

只有總結(jié)歸納才能推動(dòng)知識(shí)的理解與掌握。在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，教師要引領(lǐng)學(xué)生勤于總結(jié)、善于思考，讓學(xué)生主動(dòng)探求命題中的矛盾關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，為學(xué)生更好地提高運(yùn)用反證法的解題習(xí)慣與意識(shí)。

在“常用邏輯用語”這一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教師可以在課堂中適當(dāng)總結(jié)，幫助學(xué)生梳理反證法的不同形式表現(xiàn)。教師可以用問答的方式，將反證法的應(yīng)用類型用樹狀圖表示，第一個(gè)節(jié)點(diǎn)填寫反證法，從該節(jié)點(diǎn)縱向延伸出三個(gè)分支，分別為命題類型、否定形式、歸謬類型。然后教師提問學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的命題類型有哪些，學(xué)生說出“否定性”“唯一性”“存在性”“必然性”，此時(shí)教師就可以將學(xué)生說出的這些類型寫在命題類型的各個(gè)分支下方。其他兩股分支也像上述方法一樣相繼填寫出來，否定形式這一分支的填寫內(nèi)容應(yīng)為“大于的否定形式為小于等于”“存在的否定形式為不存在”等，否定形式樣式多變，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多地思考出來，學(xué)生進(jìn)行思考總結(jié)的過程也是形成知識(shí)儲(chǔ)備的過程。最后歸謬類型的分支則可以讓學(xué)生填寫在平時(shí)做題中遇到與定理、定義相矛盾的情形。

教師通過從適用于反證法的命題類型、常用的否定形式、常見的“歸謬”類型這三方面著手，可以幫助學(xué)生歸納反證法在解決問題時(shí)的多種應(yīng)用情況，從而讓學(xué)生在具體問題中由淺入深地理解反證法的精髓。

反證法作為間接證明方法的一種，是高中階段學(xué)生必須掌握的解題技能之一，其在否定性、存在性、必然性等命題的求解中具有不可或缺的地位。因此教師要不斷探索反證法在教學(xué)過程中的應(yīng)用，不斷滲透反證法的應(yīng)用價(jià)值與形成方法，讓學(xué)生在教學(xué)實(shí)踐中不斷體會(huì)反證法在數(shù)學(xué)解題中的獨(dú)特作用，從多角度感知與運(yùn)用反證解題的方式方法，真正感悟其迷人的魅力，生發(fā)出對(duì)數(shù)學(xué)問題的濃厚情感。

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