小議“換元法”的運(yùn)用

摘要： “數(shù)值1”在一類有條件下最值的研究，靈活應(yīng)用此思想和方法并遷移到一般的題型中，在處理此類問題時，發(fā)現(xiàn)效果很好，從而簡化了解體的復(fù)雜性，形成了問題的規(guī)律性，增添了數(shù)學(xué)的趣味性.

關(guān)鍵詞              條件    最值處理   1的乘法    1的除法

一 問題來源

   問題1（第20屆“希望杯”試題）已知，則的最大值為____.

  問題2（蘇教版課本）已知且，求的最小值為____________.

  問題3（2013浙江大學(xué)自主招生題）若，，求的最小值.

上述問題來源于參考文獻(xiàn)[1]，文獻(xiàn)中給出了一些比較特殊的解法，思路也清晰.本文從熟悉題型中研究方法，形成一類處理問題規(guī)律。上面的問題1是一道簡單題，解題途徑較廣！但在問題2和3中，學(xué)生嘗試不等式方法，方程思想，消元法解決，效果不好，本文是從課堂教學(xué)中由簡單的題解中找出問題的共性，將解題方法和思想加以遷移，能解決一類型問題.

二 問題解決

在問題1中，學(xué)生都喜歡的解==

問到學(xué)生為何用這種解法，學(xué)生幾乎答不出來，最后我和同學(xué)們一起回顧向量的知識，利用向量的知識解釋：由于，記，所以得到，等號成立的條件是.這樣解釋就比較清楚了.

在問題2中，由于是在有條件下求最值，所以嘗試用解題1的方法處理，令，則

1）當(dāng)時，，所求的最大值為.

2）當(dāng)時，，對分子再整體替換，然后用不等式得到，所以成立.

在問題3中,所求的和已知之間的最高次數(shù)相同，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，其中的，所以得到，故

三 變式探索

對問題進(jìn)行變式探索，是解決新問題的最有效方法，也是提升思維的一種有效手段，經(jīng)過思考，得到如下幾道模擬試題，研究后發(fā)現(xiàn)本質(zhì)相同，問題1的方法遷移到此處理：

變式1若且，則的最小值為____.（答：）

分析：由于=，而所求的與條件具有互為倒數(shù)結(jié)構(gòu)，能用問題1的思想方法處理，乘1后在展開，應(yīng)用不等式得到結(jié)果，即：

變式2已知正數(shù)，則的最小值為______.（答：25）

分析：似乎沒有和條件等式中互為倒數(shù)，但是可以做如下處理，即：，而把條件等價變形為，所以要求的原式為=成立

變式3已知正數(shù)且，則的最小值為_____.（答：）

分析：所求的分式可以簡化最高次方，即

=，再將分子寫成具有分母的結(jié)構(gòu)，寫成，原式.

變式4）已知滿足，求的最小值為____.（答：4）

分析：本題沒有條件，但是隱含條件，所以回歸到問題1的解法.

變式5（江蘇2015模）已知a,b為實數(shù)，若，則的最大值___(答：)

分析：本題的方法教多，可以用不等式，三角換原，方程思想等處理，當(dāng)然也可以用問題2的解題通法處理. 令，顯然都取正數(shù)時才能為最大，所以，當(dāng)時，，，當(dāng)時，原式，所以

變式6 (安徽06年高中聯(lián)賽) 若，，求的最大值和最小值____________(答：9和1)

四 方法總結(jié)

如果給的條件和結(jié)論具有互為倒數(shù)且為一次的形式，往往可以直接用“數(shù)值1相乘”進(jìn)行轉(zhuǎn)，即形如：已知且，求的最小值問題，其中的已知均為正數(shù).當(dāng)條件變?yōu)樽罡叽螢槎涡问?，即已?/span>，其中的已知均為正數(shù)，求（1）和（2）型問題時，通解方法為：把所求的式子變成和條件一樣的次方，然后在對條件變?yōu)?/span>“數(shù)值1相除”的等價分式，從而處理，容易解決問題！

參考文獻(xiàn)：

[1].范花妹。對一道自主招生考試題的研究[J]數(shù)學(xué)通訊，2015（1-2）.

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